《函数轴对称与中心对称的证明方法探究》
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一、函数轴对称的证明
1、定义
- 若函数\(y = f(x)\)满足对于定义域内任意的\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称。
2、证明思路
- （1）从函数值相等的角度出发
- 设点\(P(x,y)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，即\(y = f(x)\)，要证明函数图象关于直线\(x=a\)对称，需证明点\(P\)关于直线\(x = a\)的对称点\(P'(2a - x,y)\)也在函数图象上。
- 因为\(f(a+(x - a))=f(a-(x - a))\)，即\(f(x)=f(2a - x)\)，当\(x\)取遍定义域内的值时，对于任意\(x\)，若\(y = f(x)\)，则\(y=f(2a - x)\)，这就说明点\(P'(2a - x,y)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，所以函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称。
- （2）利用函数图象变换
- 如果函数\(y = f(x)\)可以通过某种变换得到关于直线\(x = a\)对称的形式，也能证明其轴对称性，若\(y = f(x)\)是由\(y = g(x)\)通过平移得到，且\(y = g(x)\)(y\)轴对称（即\(g(x)=g(-x)\)），经过平移后得到\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称。
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- 假设\(y = g(x)\)，\(y = f(x)=g(x - a)\)，对于\(y = g(x)\)，\(g(x)=g(-x)\)，对于\(y = f(x)\)，\(f(a + x)=g(a + x - a)=g(x)\)，\(f(a - x)=g(a - x - a)=g(-x)\)，由于\(g(x)=g(-x)\)，(f(a + x)=f(a - x)\)，证明了\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称。
3、举例
- 证明函数\(y=\cos x\)(x = k\pi\)（\(k\in Z\)）对称。
- 对于任意\(x\in R\)，\(\cos(k\pi + x)=\cos(k\pi - x)\)，根据余弦函数的性质\(\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\)和\(\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\)，当\(A = k\pi\)时，\(\cos(k\pi)\cos x-\sin(k\pi)\sin x=\cos(k\pi)\cos x+\sin(k\pi)\sin x\)，因为\(\sin(k\pi)=0\)，(\cos(k\pi + x)=\cos(k\pi - x)\)，这就证明了\(y = \cos x\)(x = k\pi\)对称。
二、函数中心对称的证明
1、定义
- 若函数\(y = f(x)\)满足对于定义域内任意的\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，则函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称。
2、证明思路
- （1）从函数值之和的角度出发
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- 设点\(P(x,y)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，即\(y = f(x)\)，要证明函数图象关于点\((a,b)\)中心对称，需证明点\(P\)关于点\((a,b)\)的对称点\(P'(2a - x,2b - y)\)也在函数图象上。
- 因为\(f(a+(x - a))+f(a-(x - a)) = 2b\)，即\(f(x)+f(2a - x)=2b\)，若\(y = f(x)\)，则\(2b - y=2b - f(x)=f(2a - x)\)，这表明点\(P'(2a - x,2b - y)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，所以函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称。
- （2）利用函数图象变换
- 类似于轴对称的证明，如果函数\(y = f(x)\)可以通过某种变换得到关于点\((a,b)\)中心对称的形式，也能证明其中心对称性，若\(y = f(x)\)是由\(y = g(x)\)通过平移等变换得到，且\(y = g(x)\)关于原点\((0,0)\)对称（即\(g(x)+g(-x)=0\)），经过变换后得到\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)对称。
- 假设\(y = g(x)\)，\(y = f(x)=g(x - a)+b\)，对于\(y = g(x)\)，\(g(x)+g(-x)=0\)，对于\(y = f(x)\)，\(f(a + x)+f(a - x)=g(a + x - a)+b+g(a - x - a)+b\)，即\(g(x)+g(-x)+2b\)，由于\(g(x)+g(-x)=0\)，(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，证明了\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称。
3、举例
- 证明函数\(y = x^{3}\)关于原点\((0,0)\)中心对称。
- 对于任意\(x\in R\)，\(f(x)=x^{3}\)，\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}\)，则\(f(x)+f(-x)=x^{3}+(-x^{3}) = 0\)，满足\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)（这里\(a = 0\)，\(b = 0\)）的形式，所以函数\(y = x^{3}\)的图象关于原点\((0,0)\)中心对称。
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