函数中心对称和轴对称的区别与联系
一、区别
1、定义方面
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轴对称
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在一条直线\(x = a\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x=a\)对称，二次函数\(y=(x - 1)^2\)，其对称轴为\(x = 1\)，对于任意\(x\)，\(f(1 + x)=(1 + x-1)^2=x^2\)，\(f(1 - x)=(1 - x - 1)^2=x^2\)，满足\(f(1 + x)=f(1 - x)\)。
中心对称
- 对于函数\(y = f(x)\)，如果存在点\((a,b)\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，那么函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)中心对称，函数\(y = x^3\)是关于原点\((0,0)\)中心对称的函数，因为对于任意\(x\)，\(f(x)=x^3\)，\(f(-x)= - x^3\)，\(f(x)+f(-x)=x^3+(-x^3)=0 = 2\times0\)。
2、图象特征方面
轴对称
- 函数图象沿对称轴折叠后，对称轴两侧的图象能够完全重合，\(y=\cos x\)的图象关于直线\(x = k\pi(k\in Z)\)对称，其图象在这些对称轴两侧的形状是完全一样的，就像一面镜子两侧的影像。
中心对称
- 函数图象绕对称中心旋转\(180^{\circ}\)后，能够与自身重合，平行四边形是中心对称图形，以其对角线交点为中心，旋转\(180^{\circ}\)后与自身重合，对于函数\(y=\frac{1}{x}\)，其图象是以原点为对称中心的双曲线，将图象绕原点旋转\(180^{\circ}\)后，图象不变。
3、函数性质方面
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轴对称
- 若函数\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，则在对称轴两侧等距离的点对应的函数值相等，在研究函数的单调性时，对称轴两侧的单调性可能相反，二次函数\(y = ax^2+bx + c(a\neq0)\)，当\(a>0\)时，在对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)左侧单调递减，右侧单调递增。
中心对称
- 若函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，则\(f(x)\)与\(f(2a - x)\)的函数值之和为\(2b\)，中心对称函数在对称中心两侧的函数值有一定的对称关系，在研究函数的奇偶性时，奇函数是特殊的中心对称函数，其对称中心为原点\((0,0)\)，即\(f(-x)= - f(x)\)。
4、解析式特征方面
轴对称
- 对于函数\(y = f(x)\)(x = a\)对称的函数，若已知\(y = f(x)\)的解析式，可以通过\(y = f(2a - x)\)得到其关于\(x = a\)对称的函数解析式，\(y = x^2\)(x = 1\)对称的函数为\(y=(2 - x)^2\)。
中心对称
- 对于函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称的函数，若已知\(y = f(x)\)的解析式，则其关于\((a,b)\)中心对称的函数解析式为\(y = 2b - f(2a - x)\)，\(y = x + 1\)关于点\((1,1)\)中心对称的函数为\(y = 2\times1-(2 - x+1)=x - 1\)。
二、联系
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1、特殊情况的转化
- 当函数\(y = f(x)\)关于直线\(x = 0\)（即\(y\)轴）对称时，函数\(y = f(x)\)是偶函数，\(f(x)=f(-x)\)，而偶函数可以看作是一种特殊的中心对称函数，其中心对称点为\((0, f(0))\)，因为\(f(x)+f(-x)=2f(0)\)（当\(x = 0\)时）。
- 奇函数是关于原点\((0,0)\)中心对称的函数，同时奇函数\(y = f(x)\)满足\(f(-x)= - f(x)\)，从图象上看，也可以看作是关于直线\(x = 0\)对称的一种特殊情况，因为将奇函数图象沿\(y\)轴翻转后与原图象重合。
2、复合函数中的体现
- 在复合函数中，函数的轴对称和中心对称性质可以相互影响，若\(y = f(u)\)是关于直线\(u = a\)轴对称的函数，\(u = g(x)\)是关于点\((b,c)\)中心对称的函数，当研究复合函数\(y = f(g(x))\)时，需要综合考虑\(f\)和\(g\)的对称性质。(g(x)\)的值域包含\(a\)，那么复合函数\(y = f(g(x))\)在一定程度上会受到\(y = f(u)\)对称轴的影响；由于\(u = g(x)\)的中心对称性质，也会给复合函数带来特殊的性质。
3、函数变换中的关联
- 在函数图象的平移、伸缩等变换过程中，函数的轴对称和中心对称性质会发生相应的变化，将一个关于\(x = a\)轴对称的函数\(y = f(x)\)向右平移\(h\)个单位得到\(y = f(x - h)\)，其对称轴变为\(x=a + h\)；如果将一个关于点\((a,b)\)中心对称的函数\(y = f(x)\)向上平移\(k\)个单位得到\(y = f(x)+k\)，其对称中心变为\((a,b + k)\)，并且在一些复杂的函数变换中，如先进行轴对称变换再进行中心对称变换或者反之，函数的最终对称性质是由这一系列变换共同决定的。
4、在解题中的协同运用
- 在解决函数相关的问题时，轴对称和中心对称性质常常协同使用，在求函数的值域、零点等问题时，如果函数具有轴对称或中心对称性质，可以利用这些性质简化问题，对于一个既具有轴对称又具有中心对称性质的函数，可以通过其对称轴找到函数值相等的点，再利用中心对称性质找到函数值之间的特殊关系，从而更方便地确定函数的一些特征，对于一些周期函数，其周期可能与函数的轴对称和中心对称性质相关，通过分析这些对称性质可以确定函数的周期，进而求解函数在整个定义域内的相关问题。
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