本文目录导读:
函数图像中心对称的判定及证明
中心对称图形的定义及性质回顾
1、定义
- 在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。
2、性质
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- 对于中心对称图形,对称中心平分连接两个对称点的线段。
函数图像是中心对称图形的判断方法
(一)函数表达式的特征判断
1、奇函数性质
- 对于函数\(y = f(x)\),如果满足\(f(-x)= - f(x)\),那么这个函数是奇函数,奇函数的图像关于原点\((0,0)\)中心对称。
- 对于函数\(y = x^3\),\(f(-x)=(-x)^3=-x^3 = - f(x)\),(y = x^3\)的图像关于原点对称。
- 证明过程:设\((x,y)\)是函数\(y = f(x)\)图像上的任意一点,则\(y = f(x)\),因为\(f(-x)= - f(x)\),所以当\(x\)变为\(-x\)时,\(y\)变为\(-y\),即点\((-x,-y)\)也在函数图像上,而点\((x,y)\)与\((-x,-y)\)关于原点对称,(y = f(x)\)的图像关于原点对称。
2、函数平移后的中心对称判断
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- 如果一个函数\(y = f(x)\)的图像是中心对称图形,对称中心为\((a,b)\),那么函数\(y = f(x - a)+b\)的图像也是中心对称图形,对称中心为\((a,b)\)。
- 函数\(y=(x - 1)^3+2\)是由\(y = x^3\)向右平移1个单位,向上平移2个单位得到的,因为\(y = x^3\)关于原点\((0,0)\)对称,(y=(x - 1)^3+2\)关于点\((1,2)\)对称。
- 证明:设点\((x_0,y_0)\)在函数\(y = f(x)\)上,且函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)对称,则\(y_0=f(x_0)\),对于函数\(y = f(x - a)+b\),当\(x=x_0 + a\)时,\(y=f((x_0 + a)-a)+b=f(x_0)+b=y_0 + b\),那么点\((x_0 + a,y_0 + b)\)在函数\(y = f(x - a)+b\)上,设\((x_1,y_1)\)是函数\(y = f(x - a)+b\)上的任意一点,则\(y_1=f(x_1 - a)+b\),令\(x_2=x_1 - a\),\(y_2=y_1 - b\),则\(y_2=f(x_2)\),点\((x_2,y_2)\)在函数\(y = f(x)\)上,因为函数\(y = f(x)\)((a,b)\)对称,所以点\((2a - x_1,2b - y_1)\)也在函数\(y = f(x - a)+b\)上,所以函数\(y = f(x - a)+b\)((a,b)\)对称。
(二)特殊点的对称关系判断
1、寻找对称中心的试探法
- 对于一些复杂的函数,可以通过寻找特殊点的对称关系来判断是否为中心对称图形。
- 对于函数\(y=\frac{1}{x}+1\),我们可以先观察函数\(y = \frac{1}{x}\),它是关于原点对称的双曲线,对于函数\(y=\frac{1}{x}+1\),我们可以通过计算几个特殊点来探索其对称中心,当\(x = 1\)时,\(y=2\);当\(x=-1\)时,\(y = 0\),我们猜测其对称中心为\((0,1)\)。
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- 证明:设点\((x,y)\)在函数\(y=\frac{1}{x}+1\)上,则\(y=\frac{1}{x}+1\),即\(y - 1=\frac{1}{x}\),对于点\((-x,2 - y)\),\(2 - y=2-(\frac{1}{x}+1)=1-\frac{1}{x}=\frac{-1}{x}+1\),将\(x\)换为\(-x\),则\(\frac{-1}{-x}+1=\frac{1}{x}+1=y\),所以点\((-x,2 - y)\)也在函数图像上,函数\(y=\frac{1}{x}+1\)关于点\((0,1)\)对称。
2、利用中点坐标公式判断
- 若函数图像上存在两点\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\),且这两点关于某点\((a,b)\)对称,则根据中点坐标公式\(a=\frac{x_1 + x_2}{2}\),\(b=\frac{y_1 + y_2}{2}\)。
- 对于函数\(y = 2x - 1\),我们任取两点\((x_1,2x_1 - 1)\)和\((x_2,2x_2 - 1)\),设它们关于点\((a,b)\)对称,则\(a=\frac{x_1 + x_2}{2}\),\(b=\frac{(2x_1 - 1)+(2x_2 - 1)}{2}=x_1 + x_2 - 1\),我们发现当\(a=\frac{x_1 + x_2}{2}\)时,\(b = 2a-1\),所以函数\(y = 2x - 1\)的图像是一条直线,它关于点\((\frac{1}{2},0)\)对称。
- 证明:设\((x_0,y_0)\)是函数\(y = 2x - 1\)图像上的任意一点,则\(y_0=2x_0 - 1\),设关于点\((\frac{1}{2},0)\)对称的点为\((x,y)\),根据中点坐标公式\(\frac{x_0 + x}{2}=\frac{1}{2}\),\(\frac{y_0 + y}{2}=0\),解得\(x = 1 - x_0\),\(y = 1 - y_0\),将\(x = 1 - x_0\)代入函数\(y = 2x - 1\)得\(y=2(1 - x_0)-1=1 - 2x_0\),而\(y_0=2x_0 - 1\),(y = - y_0\),所以函数\(y = 2x - 1\)关于点\((\frac{1}{2},0)\)对称。
判断函数图像是否为中心对称图形可以从函数表达式的特征(如奇函数性质)、函数的平移关系以及特殊点的对称关系等方面入手,在证明过程中,要紧扣中心对称图形的定义和性质,通过坐标变换、函数值的计算等方法来验证对称中心的存在以及图形关于该中心的对称性,掌握这些方法有助于我们深入理解函数的性质,更好地研究函数图像的几何特征。
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