《函数轴对称和中心对称的结论全解析》
（一）二次函数的轴对称性
对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，其图象是一条抛物线，对称轴的方程为\(x =-\frac{b}{2a}\)。
1、从函数图象的角度来看
- 当\(a>0\)时，抛物线开口向上，在对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。
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- 当\(a <0\)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧函数单调递增，在对称轴右侧函数单调递减。
2、从函数值的角度来看
- 对于抛物线上关于对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)对称的两点\((x_{1},y_{1})\)和\((x_{2},y_{2})\)，有\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)，且\(y_{1} = y_{2}\)。
（二）一般函数\(y = f(x)\)的轴对称
1、若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)=f(a - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称。
- 证明：设\(P(x,y)\)是\(y = f(x)\)图象上的任意一点，则\(y = f(x)\)，点\(P\)关于直线\(x=a\)的对称点为\(P'(2a - x,y)\)。
- 因为\(f(a+(a - x))=f(2a - x)\)，又\(f(a+(a - x))=f(a-(a - x))=f(x)\)，(f(2a - x)=f(x)\)，即点\(P'\)也在\(y = f(x)\)的图象上，(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称。
2、性质
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- 若函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称，且\(x_{1},x_{2}\)是函数定义域内关于\(x = a\)对称的两点（即\(x_{1}+x_{2}=2a\)），则\(f(x_{1})=f(x_{2})\)。
（一）奇函数的中心对称
1、对于奇函数\(y = f(x)\)，其图象关于原点\((0,0)\)对称。
- 定义上，对于任意\(x\)在函数\(y = f(x)\)的定义域内，都有\(f(-x)=-f(x)\)。
- 从图象角度看，如果点\((x,y)\)在奇函数的图象上，那么点\(( - x,-y)\)也一定在其图象上。(y=\sin x\)是奇函数，\(\sin(-x)=-\sin x\)，其图象关于原点对称。
2、性质
- 若\(f(x)\)是奇函数，且在\(x = 0\)处有定义，则\(f(0)=0\)。
（二）一般函数\(y = f(x)\)的中心对称
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1、若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)，则函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称。
- 证明：设\(P(x,y)\)是\(y = f(x)\)图象上的任意一点，则\(y = f(x)\)，点\(P\)关于点\((a,b)\)的对称点为\(P'(2a - x,2b - y)\)。
- 因为\(f(a+(a - x))+f(a-(a - x))=f(2a - x)+f(x)\)，又\(f(a+(a - x))+f(a-(a - x)) = 2b\)，(f(2a - x)+f(x)=2b\)，即\(2b - y=f(2a - x)\)，所以点\(P'\)也在\(y = f(x)\)的图象上，(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称。
2、性质
- 若函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称，且\(x_{1},x_{2}\)是函数定义域内满足\(x_{1}+x_{2}=2a\)的两点，则\(f(x_{1})+f(x_{2}) = 2b\)。
函数的轴对称和中心对称结论在函数的研究中有着广泛的应用，在解决函数的最值、单调性、图象的绘制以及方程的根的分布等问题时，利用函数的对称性质可以简化问题的求解过程，在求二次函数在某一区间上的最值时，通过对称轴与区间的位置关系可以快速确定最值的情况；对于一些具有对称性质的复杂函数，利用对称性质可以将函数在某一区间上的研究转化为对对称区间的研究，从而减少计算量，在研究函数的奇偶性扩展到一般的中心对称和轴对称性质时，也有助于我们更深入地理解函数的本质特征。
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