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在数学领域，函数图像的对称性是一个重要的研究课题，特别是在高中数学课程中，中心对称性是函数图像对称性的一种重要形式，本文将深入探讨三次函数图像中心对称性的证明方法，以期为读者提供有益的参考。
三次函数图像中心对称的定义
在平面直角坐标系中，若一个图形关于某一点O中心对称，则对于图形上的任意一点P，都有OP=OQ，其中Q为点P关于点O的对称点，对于三次函数图像，若存在一个点O，使得图像上任意一点P关于点O的中心对称点Q也在图像上，则称该三次函数图像为中心对称图形。
三次函数图像中心对称的证明方法
1、利用函数的对称性质
对于三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a≠0，我们可以通过以下步骤证明其图像中心对称：
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（1）求出函数的对称中心O：设O为对称中心，坐标为（m，n），则有：
f(m-x)=f(m+x)（x∈定义域）
将f(x)代入上式，得到：
am^3+bm^2+cm+d=a(m-x)^3+b(m-x)^2+c(m-x)+d
化简可得：
-3am^2x-2bm^3x-3am^2x-2bm^3x=0
即：
6am^2x=0
由于x∈定义域，故6am^2=0，即m=0，将m=0代入f(m-x)=f(m+x)，得到：
f(-x)=f(x)
即函数f(x)关于y轴对称，对称中心O的坐标为（0，n）。
（2）求出对称中心O的纵坐标n：由于f(x)关于y轴对称，故有：
f(-x)=f(x)
代入f(x)的表达式，得到：
-ax^3+bx^2-cx+d=ax^3+bx^2+cx+d
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化简可得：
2ax^3+2cx=0
由于a≠0，故x=0，将x=0代入f(x)的表达式，得到：
f(0)=d
对称中心O的纵坐标n=f(0)=d。
三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的对称中心为O（0，d），且图像关于该点中心对称。
2、利用导数证明
对于三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a≠0，我们可以通过以下步骤证明其图像中心对称：
（1）求出函数的导数：f'(x)=3ax^2+2bx+c。
（2）求出导数的对称中心：设导数的对称中心为O'（m'，n'），则有：
f'(m'-x)=f'(m'+x)（x∈定义域）
将f'(x)代入上式，得到：
3a(m'-x)^2+2b(m'-x)+c=3a(m'+x)^2+2b(m'+x)+c
化简可得：
6am'x=0
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由于x∈定义域，故6am'=0，即m'=0，将m'=0代入f'(m'-x)=f'(m'+x)，得到：
f'(x)=f'(-x)
即导数f'(x)关于y轴对称，导数的对称中心O'的坐标为（0，n'）。
（3）求出导数的对称中心O'的纵坐标n'：由于f'(x)关于y轴对称，故有：
f'(-x)=f'(x)
代入f'(x)的表达式，得到：
3a(-x)^2+2b(-x)+c=3ax^2+2bx+c
化简可得：
6ax^2=0
由于a≠0，故x=0，将x=0代入f'(x)的表达式，得到：
f'(0)=c
导数的对称中心O'的纵坐标n'=f'(0)=c。
三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的导数f'(x)的对称中心为O'（0，c），且导数f'(x)关于该点中心对称，由于三次函数的导数是二次函数，其图像关于y轴对称，故原函数f(x)的图像关于点O（0，d）中心对称。
本文通过两种方法证明了三次函数图像中心对称性，第一种方法利用函数的对称性质，第二种方法利用导数，这两种方法各有优缺点，读者可以根据自己的需求选择合适的方法进行证明，希望本文能为读者提供有益的参考。
标签： #三次函数图像怎么证明是中心对称
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